量子计算简介

前言

量子计算是一门前沿的计算领域，它利用量子力学原理来处理信息和进行计算，与经典计算相比具有独特的优势和潜力。在量子计算中，信息以量子比特的形式存储和处理，这些量子比特可以处于叠加态，即同时具有多种可能的状态。这种叠加态的特性使得量子计算具有并行计算的能力，可以在某种程度上同时处理多个计算任务，从而大幅提高计算效率。

除了叠加态，量子计算还利用了量子纠缠的特性。量子纠缠是一种量子系统中量子态之间的特殊关联，其中一个量子系统的状态无法独立描述，必须考虑整体系统的状态。这种量子纠缠的现象在量子计算中被广泛应用，可以实现量子比特之间的信息传输和量子操作，为量子计算提供了更为强大的计算能力。

另一个量子计算的重要特征是可逆性。与经典计算中的信息丢失不同，量子计算过程中的操作，除了测量之外都需要是可逆的，即可以通过逆操作将系统恢复到初始状态。

量子比特

量子比特与叠加态

量子比特（也称 quantum bit 或 qubit）可以用物理系统来实现，但一般我们讨论的是其抽象概念。正如经典比特有一个具体的状态—— 0 或者 1，量子比特的两个可能的状态是 $|0⟩$ 和 $|1⟩$，这种记号 $|\psi ⟩$ 被称为 Dirac 记号。与经典比特不同的是，量子比特是状态的 线性组合，也称为 叠加态：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& |\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩\end{array}$$

其中，$\alpha$ 和 $\beta$ 都是复数，它们被称为概率振幅，因为它们表示了量子比特有 $|\alpha {|}^2$ 的概率处于 $|0⟩$，且有 $|\beta {|}^2$ 的概率处于 $|1⟩$，由于概率和总为 1，显然存在关系 $|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$。
量子比特可以处于 $|0⟩$ 和 $|1⟩$ 之间的连续状态之中，根据量子力学原理，当我们观测一个量子比特时，量子比特的状态发生坍缩，我们只能得到 0 或者 1，取决于 $|0⟩$ 和 $|1⟩$ 的概率振幅。

布洛赫球(Bloch Sphere)

由于关系 $|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$ 存在，因此式 (1) 又可以写为如下形式：

$$|\psi ⟩=e^{i\gamma }(cos\frac{\theta }{2}|0⟩+e^{i\phi }sin\frac{\theta }{2}|1⟩)$$

由于 $e^{i\gamma }$ 作为全局相位（global phase），它无法引起任何可观测的效应，因此可以省略。（相对的， $e^{i\phi }$ 即为相对相位 relative phase）

$$\begin{array}{}\text{(2)}& |\psi ⟩=cos\frac{\theta }{2}|0⟩+e^{i\phi }sin\frac{\theta }{2}|1⟩\end{array}$$

式 (2) 中 $\theta$ 和 $\phi$ 定义了单位三维球上的一个点，如图 1 所示：

该球面被称为布洛赫球(Bloch Sphere)，它是可视化单量子比特的有效方法。

多量子比特

假设有两个比特，如果这两个比特是经典比特，那么有 4 种状态：00,01,10,11.相应的，对于两个量子比特的系统，有 4 个基本状态，依次表示为：$|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩$。一对量子比特可以是这 4 个态的任意叠加形式。

$$|\psi ⟩={\alpha }_{00}|00⟩+{\alpha }_{01}|01⟩+{\alpha }_{10}|10⟩+{\alpha }_{11}|11⟩$$

类似于单量子比特，${\mathrm{\Sigma }}_{x\in \{0,1{\}}^2}|{\alpha }_x{|}^2=1$ 成立。

量子纠缠

在量子力学里，当几个基础粒子在彼此相互作用之后，由于各个粒子所拥有的特性已成为整体的性质，无法被单独描述，这种现象被称为量子纠缠。
1935 年，Einstein、Podolsky 和 Rosen 合作发表了有关量子纠缠的论文，他们的本意是通过量子纠缠来展示量子力学的不完备，这篇论文证明了如果测量一对纠缠粒子中的一个，另一个粒子的状态也会随之改变，即使它们相距很远。然而后续的科学研究证明了这种效应确实存在。
例如贝尔态 $|{\beta }_{00}⟩=\frac{|00⟩+|11⟩}{2}$ 中我们可以发现，两个量子比特总是保持相同的状态，要么全部为 0，要么全部为 1.

可逆性

经典计算存在大量不可逆的运算，但是在量子计算中，除了测量以外的运算都必须可逆。因为执行不可逆运算就会丢失信息，相当于对系统的状态进行了测量，这样一个运算周期便完成了，从而使得程序结束。

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